Consistency, accuracy and entropic behaviour of remeshed particle methods

In this paper we analyse the consistency, the accuracy and some entropy properties of particle methods with remeshing in the case of a scalar one-dimensional conservation law. As in [7] we re-write particle methods with remeshing in the finite-difference formalism. This allow us to prove the consistency of these methods, and accuracy properties related to the accuracy of interpolation kernels. Cottet and Magni devised recently in [5] and [19] TVD remeshing schemes for particle methods. We extend these results to the non linear case with arbitrary velocity sign. We present numerical results obtained with these new TVD particle methods for the Euler equations in the case of the Sod shock tube. Then we prove that with these new TVD remeshing schemes the particle methods converge toward the entropy solution of the scalar conservation law. Key-words: particle methods with remeshing, interpolation kernels, consistency, truncation error, entropic inequalities, total variation, limiters, convergence. ∗ Univ. Bordeaux, IMB, UMR 5251, F-33400 Talence, France. CNRS, IMB, UMR 5251, F-33400 Talence, France. INRIA, F-33400 Talence, France. † Laboratoire Jean Kuntzmann, Universit Joseph Fourier, 51 rue des Mathmatiques, 38041 Grenoble Cedex 9, France in ria -0 06 31 07 6, v er si on 1 11 O ct 2 01 1 Consistency, accuracy and entropic behaviour of remeshed particle methods Résumé : Nous analysons la consistance, la précision et certaines propriétés entropiques des méthodes particulaires avec remaillage dans le cas d’une loi de conservation scalaire monodimensionnelle. Comme dans [7] nous ré-écrivons les méthodes de ce type dans le formalisme des différences finies. Cela nous permet de montrer leur consistance ainsi que des propriétés de précision liées à la précision des noyaux d’interpolation utilisés. Cottet et Magni ont introduit récemment dans [5] et [19] des techniques de remaillage TVD pour les méthodes particulaires. Nous étendons ces résultats au cas non linéaire avec signe de la vitesse quelconque. Nous présentons ensuite des résultats numériques obtenus avec ces nouveaux schémas pour les équations d’Euler dans le cas du tube à choc de Sod. Puis nous montrons que les schémas particulaires obtenus avec ces techniques de remaillage TVD convergent vers l’unique solution entropique de la loi de conservation scalaire considérée. Mots-clés : méthodes particulaires avec remaillage, noyaux d’interpolation, consistance, erreur de troncature, inégalités entropiques, variation totale, limiteurs, convergence. in ria -0 06 31 07 6, v er si on 1 11 O ct 2 01 1 Consistency, accuracy and entropic behaviour of remeshed particle methods 3